Ecuaciones diferenciales

Objetivo: graficar la solución particular de una ecuación diferencial con método de Euler

Definición: una ecuación es aquella que al resolverse obtiene como resultado a una función, la ecuación particular depende de una condición inicial o el punto por donde se desea cruce la trayectoria en el plano.

El método de Euler aplica la siguiente ecuación para encontrar la solución particular de una ecuación diferencial .

Yn=yn-1+f(xn-1, yn-1)h

Algoritmo:

1.- inicio

2.- identificar i correspondiente a los puntos que se te indiquen

3.- sacar x aumentando h conforme va avancando la numeración de x

5.- sustituir formula para sacar y

6.-  sacar resultado

7.- graficar

8.- fin

Ejemplo:

Grafique la solución particular de la ecuación diferencial y’-5y²x=0

i	x	Y
0	2	1
1	2.1	2.0
2	2.2	6.2
3	2.3	48.484
4	2.4	2751.786994

Sistema de ecuaciones

Objetivo: aplicaciones de sistemas de ecuaciones de “nxn”

Definición: un modelo matemático representa situaciones cotidianas mediante ecuaciones e incognitas resolviendo dicho modelo se puede obtener un valor cualitativo como muestran los siguientes ejemplos.

Algoritmo:

1.- inicio

2.- aplicar el mismo procedimiento que en el tema anterior

3.- fin

Ejemplo:

Omar compra en la cafetería un refresco y una quesdilla con $25 pesos.

Al dia siguiente el lo invita a comer y compra 4 refrescos y 6 quesadillas pagando $130 pesos. ¿Cuál era el costo de cada producto?

X= precio de refrescos

Y = precio quesadillas

Metodo de gauss

Objetivo: resolver sistemas de ecuaciones con el método de Gauss.

Definición: el método de Gauss resuelve sistemas de ecuaciones de “n x n” convirtiendo una matriz formada por los coeficientes del sistema en matriz unitaria.

Una matriz unitaria se define como aquella matriz formada por unos y ceros donde los pivotes son la intersección de la fila y la columna del mismo valor.

Algoritmo de solución

Paso 1 se forma una matriz con los coefecientes del sistema de ecuaciones y se elige el primer pivote de la intersección de la fila 1 y la columna 1, en caso de no ser unitario se debe dividir a toda la fila o entre el valor del pivote

Paso2 se debe convertir los valores restantes de la columna en 0 utilizando para cada fila la siguiente ecuación (fila del pivote x en inverso negativo del número a eliminar + la fila de no. A eliminar)

Paso 3 se repiten los pasos anteriores cambiando el pivote por la intersección de la columna 2 y fila 2

Paso 4 los resultados se obtienen de la última columna de la matriz

 

Derivación numérica

La derivación con intervalos centrados realiza un incremento y decremento del valor inicial con respecto al tamaño (h) matemáticamente se calcularon las siguientes ecuaciones.

INTERVALOS CENTRADOS

F’(x0)= f(x0+1)-f(x0-1)

                       2n

F”(x0)= f(x0+1)-2f(x0)+f(xi+1)

                               H²

La derivada de una función con respecto al tiempo representa físicamente la velocidad de un móvil, la segunda derivada con respecto al tiempo representa la aceleración.

Algoritmo:

1.- inicio

2.- correspondiente a la ecuación y los valores designados sacar x0-1, x0, x0+1 que serán tus valores x

3.- sacar valor de f(x) sustituyendo x en la fórmula propuesta

4.- sustituir la ecuación en la fórmula que se indica

5.- sacar resultado

6.- fin

Ejemplo:

Resuelva las siguientes derivadas

  D²_  cos 4x   * e ^2x       x=3     n=0.1                   

Dx²            3x²

	X	F(x)
X0-1	2.9	7.439786548
X0	3.0	12.60870313
X0+1	3.1	16.85554323

F”(x)= 16.85554323-2(12.60870313)+7.439786548

                                                 0.01

F(x)=-92.2076482

Derivación numérica

Objetivo: resolver una derivada con aproximaciones numéricas

Definición: la derivada se define como el cálculo de la pendiente de una recta tangente en una trayectoria definida, para su cálculo se considera un incremento que tiende a 0 (incremento x=0), en métodos numéricos se aproxima su valor mediante la evaluación de 2 intervalos, el grado de posición depende de la tendencia a 0 de cada incremento.

Existen 3 métodos numéricos para calcular una derivada:

a)      Diferencias a la izquierda:

En este método el valor deseado se encuantra a la izquierda y se aplica la siguiente ecuación:

P³(x)=  -3f(xo) + 4f(x0+n)-f(x0+2n)

                              2n

Algoritmo:

1.- inicio

2.- identificar valores x0, x0+h y  x0+2h estos valores serán tus x

3.- sustituir cada x y sacar f(x)

4.- sustituir la formula

5.- sacar resultados

6.- fin

Ejemplo: calcule las siguientes derivadas

 D  3x² +2=         x=2             h=0.1

dx

x	F(x)
X0=        2	14
X0+h=  2.1	15.23
X0+2h=2.2	16.52

P³(x)=  -3(14) + 4(15.23)-16.52

                              0.2

=12u²

Integración numérica método de Simpson 3/8

Objetivo: resolver una integral con el método de Simpson 3/8

Definición:

El método de Simpson 3/8 realiza una aproximación del área bajo la curva mediante la división del intervalo en 3 partes iguales (h), la ecuación matemática para su calculo es:

Algoritmo:

1.-inicio

2.- identificar valores a, b, h

3.- sacar valores x y f(x) donde x0 es = a y xn=b

4.- sustituir la formmula

5.- sacar resultado

6.- fin

 

Integración numérica método de Simpson 1/3 compuesto

Objetivo: resolver una integral por el método de Simpson 1/3 compuesto

El método de Simpson 1/3 compuesto subdivide los intervalos en n partes iguales aproximado el área bajo la curva con la sumatoria de la función en sus subdivisiones utilizando la siguiente ecuación. 

Algoritmo:

1.-inicio

2.- identificar valores a, b, n

3.- con respecto a la formula xn= a+b-a/2n(xn) sacar valores x hasta llegar al valor b

4.- sacar f(x)

5.- sustituir la formula correspondiente

6.- sacar resultado

7.- fin