INTERPOLACION POLINOMIAL (NEWTON)

OBJETIVO: Identificar el polinomio de interpolación con el método de Newton

DEFINICIÓN: El polinomio de interpolación lineal que pasa por n puntos conocidos como diferencias divididas utiliza el siguiente polinomio para identificar la función 

Pn(x) Y1+Y1Y2(X-X1)+Y1Y2Y3(X-X1)(X-X2)+Y1Y2Y3Y4(X-X1)(X-X2)(X-X3)...........

Se conoce como diferencias divididas por que utiliza la siguiente ecuación

Yn= Yn-Yn-1

           Xn -Xn-1  

La tabulación que se utiliza para el calculo de los coeficientes es la siguiente

 X          Y

X1        Y1

                         Y1Y2= Y2-Y1

X2        Y2                     X2-X1

X3        Y3

                                                   Y1Y2Y3=Y23-Y12

X4        Y4                                                    X3-X1

 .             .

 .             .

 .             .                                                                          Y1Y2Y3Yn=Yn-Yn-1

 .             .                                                                                                  Xn-X1

Xn        Yn

ALGORITMO:

• Inicio
• Detectar X y Y en la tabulación 
• Una vez encontrados sustituir X y Y
• Resolver la tabla de tabulación 
• Ya resuelta sustituir la formula del polinomio con el método de Newton
• Sacar Pn
• Fin

Ejemplo: 

Indique el polinomio de la interpolación que pasa por los puntos (2,6)(3.8) (4,5)y (5,6)

 X          Y

  2           6

                          8-6  =  2

                          3-2       1

  3           8                                          -3-2   = -5

                         5-8 = -3                      4-2        2

                         4-3      1                                                 2+5/2  = 3 

  4          5                                                                        5-2         2

                        6-5  =  1                     1/-1+3  = 2

                        5-4     -1                         5-4       1

  5           6

 Pn (x) = 6+ 2(x-1) - 5  (x-1)(x-2) +  3  (x-1)(x-2)(x-3) 

                                  2                       2

Pn(x) = 6 + 2x-2 -5   (x^2-3x+2)  +  3  (x^3-3x^2-x+3)

                             2                            2

=6+2x-2-   5x^2+15x + 5  +  3x^3 - 3x^2 - 3x +3

                   2          2                 2                         2

=3x^3 -11 x^2  +  13x + 21     

   2        2                2        2

INTERPOLACION POLINOMIAL (LAGRAGE)

OBJETIVO:Resolver problemas de pronosticos usando el metodo Lagrage

DEFINICIÓN:La interpolación polinomial se puede aplicar para la solución de pronósticos encontrando el polinomio de interpolación que represente de mejor manera el comportamiento del problema utilizando los datos como nodos para el desarrollo del polinomio.

ALGORITMO: 

• Inicio
• Identificar x dependiendo el pronostico de ventas que quiera encontrar y
• Una vez identificada la x y la consecuencia que sigue sustituir en l
• Resolver l 
• Sustituir la formula polinomio 
• En la incognita de y sustituir x en el resultado del polinomio resultante
• Fin 

Ejemplo:

Resuelve el siguiente  pronostico de ventas de la siguiente tabla: 

AÑO         VENTAS $

2001            20000

2002            22000

2003            25000

2004                ?

l1 =    (x-x1)  (x-x2)   (x-x3)   =        x^2 -5x+6

         (1-1)      (1-2)     (1-3)                     2

l2 =    (x-x1)  (x-x2)   (x-x3)   =        x^2 -4x+3

         (2-1)      (2-2)     (2-3)                     -1

l3 =    (x-x1)  (x-x2)   (x-x3)   =        x^2 -3x+2

         (3-1)      (3-2)     (3-3)                     2

Pn(x)Y1l1+Y2l2+Y3l3+.....................Ynln 

Pn (x)= 20(x^2 - 5x  +  6 )  +  22(x^2 -  4x  +  3)   +   25(x^2  -  3x  + 2)

                   2      2       2                -1      -1      -1                 2        2       2

Pn (x)= 10x^2 - 50x  +  60 + 22x^2 - 88x   +  66 + 25x^2  - 75x +  25
                                                   -1       -1         -1       2            2       2

= 1x^2  -  151x  +  13
      2           2           2

=1(4)^2  -  151(4)  + 13
     2               2           2

=-575   = -28750
      2

=Las ventas del año 2004 es de $-28750

INTERPOLACION LINEAL

OBJETIVO DEL TEMA: RESOLVER LA INTERPOLACION DE VARIOS PUNTOS APLICANDO EL MÉTODO DE LANGRAGE

DEFINICIÓN: La interpolación se define como la búsqueda de la relación existente entre varios puntos, la variación que existe entre varios puntos, la variación que existe entre la unión de los puntos depende del numero de nodos que se utilicen o del grado de precisión de cada uno de los métodos.

El método de Langage utiliza un polinomio formado por la siguiente ecuación 

Pn(x)Y1l1+Y2l2+Y3l3+.....................Ynln

Los coeficientes L se calculan realizando operaciones algebraicas aplicando las siguientes formulas

l1 =   (X-X1)  (X-X2)   (X-X3)...........(X-XN)

         (X1-X1)(X1-X2)(X1-X3).........(X1-XN)

l2 =   (X-X1)  (X-X2)   (X-X3)...........(X-XN)

         (X2-X1)(X2-X2)(X2-X3).........(X3-XN)

l3 =   (X-X1)  (X-X2)   (X-X3)...........(X-XN)

         (X3-X1)(X3-X2)(X3-X3).........(X3-XN)

      

ln =    (X-X1)  (X-X2)   (X-X3)...........(X-XN)

         (XN-X1)(XN-X2)(XN-X3)......(XN-XN)

ALGORITMO:

• Inicio
• Identificar x y y y en que proporción o seguimiento va x 
• Sustituir la formula para sacar l 
• En la formula unos numero son equivalentes a 0 eliminar lo que se indica 
• realizar la ecuación y sacar l
• Sustituir la formula de polinomio 
• Obtener Pn
• Fin

Ejemplo:

Calcule el polinomio de interpolación que una los puntos (1,5) (2,4) (3,6) 

l1 =    (x-x1)  (x-x2)   (x-x3)   =        x^2 -5x+6

         (1-1)      (1-2)     (1-3)                     2

l2 =    (x-x1)  (x-x2)   (x-x3)   =        x^2 -4x+3

         (2-1)      (2-2)     (2-3)                     -1

l3 =    (x-x1)  (x-x2)   (x-x3)   =        x^2 -3x+2

         (3-1)      (3-2)     (3-3)                     2

Pn(x)Y1l1+Y2l2+Y3l3+.....................Ynln 

Pn (x)= 5(x^2 - 5x  +  6 )  +  4(x^2 -  4x  +  3)   +   6(x^2  -  3x  + 2)

                   2      2       2             -1      -1      -1              2        2       2

= 5x^2 - 25x  +  15   +  4x^2  -  16x  +  12  +  3x^2  -  9x  +  6

       2       2                      -1         -1        -1     

Pn=3x^2  - 11 x + 9 

          2         2

NUMEROS DE COMPUTADORA

OBJETIVO DEL TEMA: RESOLVER OPERACIONES CON NÚMEROS DE DIFERENTES BASES DE NUMERACIÓN 

DEFINICIÓN: Un numero es un símbolo, dibujo o letra que cuenta con un valor cuantitativo que depende de su valor nominal o posicional, el valor absoluto se cuenta como dígito y el posicional considera una graduación sucesiva  

 1,434

4 valor absoluto = 4 

4 valor posicional = 400

La base de un sistema indica el valor posicional utilizando una potencia que se incrementa en cada posición de derecha a izquierda, para convertir cualquier numero de diferente base al sistema decimal se debe multiplicar por potencia según su posición.

ALGORITMO

• Inicio
• dependiendo el sistema que se desee cambiar ya sea el caso de exagecimal, binario u octal, se coloca en la parte de abajo del numero que se desee cambiar, y como potencia empesando de 0 1 2 3 4 dependiendo el numero que se desee cambiar, colocandolor de derecha a izquierda

ejemplo: 

Binario                                               Octal

  1       0        1       1                    8      5        2     6

2^3   2^2    2^1    2^0               8^3   8^2   8^1   8^0

                                 

     exagecimal

                       

     F=15          E=14             A=10

    16 ^2           16^1              16^0

0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15  

                                                                              A    B    C    D     E    F  

SISTEMA OCTAL

SISTEMA EXAGECIMAL

• Después de este procedimiento se multiplica por la potencia y el numero de arriva que corresponda comenzando de izquierda a derecha.
• Se suman resultados
• Fin  

Ejemplo:

BINARIO- DECIMAL 

   1         1      0       1       0      1

2 ^6   2 ^4  2 ^3   2^2   2 ^1  2^0     

= 1+0+4+0+16+64=8510

OCTAL-DECIMAL

  6      3        5      6  

8^3  8^2   8 ^1  8^0

=6+40+192+3072=331010

EXAGECIMAL-DECIMAL

BEBA= 10*16^0+11*16^1+14*16^2+11*16^3

=10+176+3584+45056=4882610

Para convertir un numero de base 10 a cualquier base se debe realizar una división sucesiva colocando el residuo de cada división en forma inversa para formar el numero en una base deseada.

ALGORITMO

• Inicio
• El numero que se encuentra en decimal para pasarlo a algún sistema que se desee primero se debe dividir entre el numero del sistema al que se desee cambiar ya sea entre 16, 8 ó 2
• Después el numero entero se vuelve a dividir entre el mismo numero del sistema que se quiso cambiar
• Al terminar y que el entero sea = 0 todos los residuos se colocan en el resultado comenzando de derecha a izquierda 
• Fin 

Ejemplo: 

DECIMAL-EXAGECIMAL

50758______16 

50758/16= 3172 sobrante =6  3172/16=198  sobrante =4  198/16=12 sobrante=6  12/16=0 sobrante=12

=C64616

SERIE DE TAYLOR

DEFINICIÓN: Los ordenadores trabajan utilizando las operaciones básicas, para resolver las funciones trascendentales o trigonométricas que utilizan el polinomio de Taylor que permite realizar una aproximación de la función evaluando el polinomio a rededor de un punto cercano, cada termino recibe el nombre de iteración y el grado del polinomio se determina por la letra N.

fn (x0)= f(x0) + f '((x0)/1!) (x-x0)) + f " ((x0)/2!)(x-x0))^2+ f "'((x0)/3!)(x-x0))^3+........fn(x0)/n!)(x-xo)^n  

N=GRADO

ALGORITMO:

• Inicio
•  Resolver la función que se desea en los grados que se indican y sacando su derivada
•  Una vez terminado, sustituir la formula fn (x0)= f(x0) + f '((x0)/1!) (x-x0)) + f " ((x0)/2!)(x-x0))^2+ f "'((x0)/3!)(x-x0))^3+........fn(x0)/n!)(x-xo)^n
•  Sacar el resultado realizando la ecuación 
•  Fin

Ejemplo:

f(x) = Sen x + 2x^3

cuando x= 2  n=3  x0=5

f (x0) = Sen (5) + 2(5)^3                                   249.0410757

f '(x0)= Cos (5) + 6(5)^2                                   150.2836622

f"(x0)= -Sen(5) + 12(5)                                     60.95892427

f"' (x0)= -Cos(5) + 12                                        11.71633781 

fn (x0)= f(x0) + f '((x0)/1!) (x-x0)) + f " ((x0)/2!)(x-x0))^2+ f "'((x0)/3!)(x-x0))^3+........fn(x0)/n!)(x-xo)^n

P3(5)=249.0410757+(150.2836622) (3)+(30.47946214)(9)+(1.9527229668)(27)

=249.0410757+450.8509866+274.3151593+52.7235201

P3(5)=1026.930742

ERROR DE REDONDEO O TRUNCAMIENTO

OBJETIVO DEL TEMA: CALCULAR EL ERROR DE REDONDEO O TRUNCAMIENTO 

DEFINICIÓN:El error de redondeo se presenta por el numero de dígitos que pueden manejar un ordenador realizando una aproximación del ultimo dígito donde se aplica del 50% + 1 para encontrar su valor.

Convencionalmente el valor real sera el obtenido en forma directa por el ordenador, y el redondeo se representa en las operaciones y cifras de la función. 

ALGORITMO:

• Inicio 
• Resolver  la ecuación a resolver donde el resultado se muestre con todas las decimales que obtengas al realizar la ecuación. Donde este resultado lo tomaremos como valor real.
• Resolver esta misma ecuación pero ahora con las decimales que indica en la problemática señalada, solo que en este caso solo se tomaran las decimales indicadas en la ecuación, el resultado en este caso tendrá todas las decimales obtenidas en la calculadora. En este caso sera tu valor medido.
• Sustituir la formula error porcentual= [(Valor Real - Valor Medido)/Valor Real]*100% para conocer el porcentaje de error que existe en este caso.
• Fin

Ejemplo:

Calcular el error porcentual de la siguiente función usando 6 Y 3 decimales 

y= (cos 5)5

         5-1                                  V.R.=0.354577731

CON 6 DECIMALES 

y= (0.283662*5) / 4 =0.3545775

error porcentual= [(Valor Real - Valor Medido)/Valor Real]*100%

= [(0.354577731- 0.3545775)/0.354577731]*100

=0.00006514791534%

CON 3 DECIMALES 

y=(0.283*5)/4 =0.35375

error porcentual= [(Valor Real - Valor Medido)/Valor Real]*100% 

=[(0.354577731-0.35375)/0.354577731]*100

=0.233441338%

ERROR POTENCIAL

OBJETIVO DEL TEMA: IDENTIFICAR LOS TIPOS DE ERRORES MATEMÁTICOS

DEFINICIÓN: Es  la representación en porcentaje del error relativo. Matemáticamente se expresa.

ERROR PORCENTUAL= ERROR RELATIVO * 100%

ALGORITMO:

• Inicio 
•  Medir lo señalado en el problema 
•  Sacar el valor real  con la formula  valor real= + de todas la medidas/ # de medidas 
•  Sustituir la formula error relativo = (valor real - valor medido )/ valor real  o en dado caso puede sacar el valor absoluto y sustituir con la siguiente formula error relativo = error absoluto/valor real 
•  Sacar resultado de error relativo
• Sustituir la formula error porcentual=error relativo * 100%
• Sacar el error porcentual
• Fin 

Ejemplo:

Calcule el error de la segunda medición, al calcular la longitud de el ancho de una mesa  utilizando una regla, una escuadra y una cinta métrica.

Medida	Magnitud
Regla	68
Escuadra	70
Cinta métrica	65

valor real = + de todas las medidas / #de las medidas

valor real = 203/3 = 67.66

error relativo = (valor real - valor medido )/ valor real 

error relativo= (67.66-70)/67.66=-0.034584688

error absoluto= valor real - valor medido 

error absoluto= 67.6 - 70 = -2.33

error relativo = error absoluto/valor real 

error relativo = -2.33/67.66=-0.03443689

error porcentual=error relativo * 100%

error porcentual= -0.03443689*100= -3.443689

ERROR RELATIVO

OBJETIVO DEL TEMA: IDENTIFICAR LOS TIPOS DE ERROR MATEMATICO

DEFINICIÓN: Es la relación entre el error absoluto y el valor real de una medición matemáticamente se expresa

ERROR RELATIVO = (VALOR REAL - VALOR MEDIDO)/ VALOR REAL 

ERROR RELATIVO = ERROR ABSOLUTO/ VALOR REAL 

ALGORITMO:

• Inicio 
•  Medir lo señalado en el problema 
•  Sacar el valor real  con la formula  valor real= + de todas la medidas/ # de medidas 
•  Sustituir la formula error relativo = (valor real - valor medido )/ valor real  o en dado caso puede sacar el valor absoluto y sustituir con la siguiente formula error relativo = error absoluto/valor real 
•  Sacar resultado de error relativo
• Fin 

Ejemplo:

Calcule el error de la segunda medición, al calcular la longitud de el ancho de una mesa  utilizando una regla, una escuadra y una cinta métrica.

Medida	Magnitud
Regla	68
Escuadra	70
Cinta métrica	65

valor real = + de todas las medidas / #de las medidas

valor real = 203/3 = 67.66

error relativo = (valor real - valor medido )/ valor real 

error relativo= (67.66-70)/67.66=-0.034584688

error absoluto= valor real - valor medido 

error absoluto= 67.6 - 70 = -2.33

error relativo = error absoluto/valor real 

error relativo = -2.33/67.66=0.03443689

ERROR ABSOLUTO

OBJETIVO DEL TEMA: IDENTIFICAR LOS TIPOS DE ERROR MATEMÁTICO

DEFINICIÓN: Un error se define como la diferencia entre un valor real(el promedio de varias mediciones) y un valor medido, matemáticamente se expresa:

ERROR ABSOLUTO = VALOR REAL - VALOR MEDIDO

ALGORITMO:

• Inicio  
• Medir lo predeterminado en la problemática 
•  Sacar el valor real  con la formula  valor real= + de todas la medidas/ # de medidas 
•  Sustituir la formula error absoluto= valor real - valor medido  considerando al valor medido que se indica en el problema 
•  Sacar resultado del error absoluto
• Fin

Ejemplo:

Calcule el error de la segunda medición, al calcular la longitud de el ancho de una mesa utilizando una regla, una escuadra y una cinta métrica.

Medida	Magnitud
Regla	68
Escuadra	70
Cinta métrica	65

valor real = + de todas las medidas / #de las medidas

valor real = 203/3 = 67.66

error absoluto= valor real - valor medido 

error absoluto= 67.6 - 70 = -2.33