Ecuaciones diferenciales

Objetivo: graficar la solución particular de una ecuación diferencial con método de Euler

Definición: una ecuación es aquella que al resolverse obtiene como resultado a una función, la ecuación particular depende de una condición inicial o el punto por donde se desea cruce la trayectoria en el plano.

El método de Euler aplica la siguiente ecuación para encontrar la solución particular de una ecuación diferencial .

Yn=yn-1+f(xn-1, yn-1)h

Algoritmo:

1.- inicio

2.- identificar i correspondiente a los puntos que se te indiquen

3.- sacar x aumentando h conforme va avancando la numeración de x

5.- sustituir formula para sacar y

6.-  sacar resultado

7.- graficar

8.- fin

Ejemplo:

Grafique la solución particular de la ecuación diferencial y’-5y²x=0

i	x	Y
0	2	1
1	2.1	2.0
2	2.2	6.2
3	2.3	48.484
4	2.4	2751.786994

Sistema de ecuaciones

Objetivo: aplicaciones de sistemas de ecuaciones de “nxn”

Definición: un modelo matemático representa situaciones cotidianas mediante ecuaciones e incognitas resolviendo dicho modelo se puede obtener un valor cualitativo como muestran los siguientes ejemplos.

Algoritmo:

1.- inicio

2.- aplicar el mismo procedimiento que en el tema anterior

3.- fin

Ejemplo:

Omar compra en la cafetería un refresco y una quesdilla con $25 pesos.

Al dia siguiente el lo invita a comer y compra 4 refrescos y 6 quesadillas pagando $130 pesos. ¿Cuál era el costo de cada producto?

X= precio de refrescos

Y = precio quesadillas

Metodo de gauss

Objetivo: resolver sistemas de ecuaciones con el método de Gauss.

Definición: el método de Gauss resuelve sistemas de ecuaciones de “n x n” convirtiendo una matriz formada por los coeficientes del sistema en matriz unitaria.

Una matriz unitaria se define como aquella matriz formada por unos y ceros donde los pivotes son la intersección de la fila y la columna del mismo valor.

Algoritmo de solución

Paso 1 se forma una matriz con los coefecientes del sistema de ecuaciones y se elige el primer pivote de la intersección de la fila 1 y la columna 1, en caso de no ser unitario se debe dividir a toda la fila o entre el valor del pivote

Paso2 se debe convertir los valores restantes de la columna en 0 utilizando para cada fila la siguiente ecuación (fila del pivote x en inverso negativo del número a eliminar + la fila de no. A eliminar)

Paso 3 se repiten los pasos anteriores cambiando el pivote por la intersección de la columna 2 y fila 2

Paso 4 los resultados se obtienen de la última columna de la matriz

 

Derivación numérica

La derivación con intervalos centrados realiza un incremento y decremento del valor inicial con respecto al tamaño (h) matemáticamente se calcularon las siguientes ecuaciones.

INTERVALOS CENTRADOS

F’(x0)= f(x0+1)-f(x0-1)

                       2n

F”(x0)= f(x0+1)-2f(x0)+f(xi+1)

                               H²

La derivada de una función con respecto al tiempo representa físicamente la velocidad de un móvil, la segunda derivada con respecto al tiempo representa la aceleración.

Algoritmo:

1.- inicio

2.- correspondiente a la ecuación y los valores designados sacar x0-1, x0, x0+1 que serán tus valores x

3.- sacar valor de f(x) sustituyendo x en la fórmula propuesta

4.- sustituir la ecuación en la fórmula que se indica

5.- sacar resultado

6.- fin

Ejemplo:

Resuelva las siguientes derivadas

  D²_  cos 4x   * e ^2x       x=3     n=0.1                   

Dx²            3x²

	X	F(x)
X0-1	2.9	7.439786548
X0	3.0	12.60870313
X0+1	3.1	16.85554323

F”(x)= 16.85554323-2(12.60870313)+7.439786548

                                                 0.01

F(x)=-92.2076482

Derivación numérica

Objetivo: resolver una derivada con aproximaciones numéricas

Definición: la derivada se define como el cálculo de la pendiente de una recta tangente en una trayectoria definida, para su cálculo se considera un incremento que tiende a 0 (incremento x=0), en métodos numéricos se aproxima su valor mediante la evaluación de 2 intervalos, el grado de posición depende de la tendencia a 0 de cada incremento.

Existen 3 métodos numéricos para calcular una derivada:

a)      Diferencias a la izquierda:

En este método el valor deseado se encuantra a la izquierda y se aplica la siguiente ecuación:

P³(x)=  -3f(xo) + 4f(x0+n)-f(x0+2n)

                              2n

Algoritmo:

1.- inicio

2.- identificar valores x0, x0+h y  x0+2h estos valores serán tus x

3.- sustituir cada x y sacar f(x)

4.- sustituir la formula

5.- sacar resultados

6.- fin

Ejemplo: calcule las siguientes derivadas

 D  3x² +2=         x=2             h=0.1

dx

x	F(x)
X0=        2	14
X0+h=  2.1	15.23
X0+2h=2.2	16.52

P³(x)=  -3(14) + 4(15.23)-16.52

                              0.2

=12u²

Integración numérica método de Simpson 3/8

Objetivo: resolver una integral con el método de Simpson 3/8

Definición:

El método de Simpson 3/8 realiza una aproximación del área bajo la curva mediante la división del intervalo en 3 partes iguales (h), la ecuación matemática para su calculo es:

Algoritmo:

1.-inicio

2.- identificar valores a, b, h

3.- sacar valores x y f(x) donde x0 es = a y xn=b

4.- sustituir la formmula

5.- sacar resultado

6.- fin

 

Integración numérica método de Simpson 1/3 compuesto

Objetivo: resolver una integral por el método de Simpson 1/3 compuesto

El método de Simpson 1/3 compuesto subdivide los intervalos en n partes iguales aproximado el área bajo la curva con la sumatoria de la función en sus subdivisiones utilizando la siguiente ecuación. 

Algoritmo:

1.-inicio

2.- identificar valores a, b, n

3.- con respecto a la formula xn= a+b-a/2n(xn) sacar valores x hasta llegar al valor b

4.- sacar f(x)

5.- sustituir la formula correspondiente

6.- sacar resultado

7.- fin

Integración numérica método de trapecio y Simpson 1/3.

Objetivo del tema: resolver problemas con el método de trapecio y Simpson 1/3.

Definición: El área bajo la curva analiza el total de información de un proceso analizado en un intervalo delimitado, el cálculo de área bajo la curva se puede resolver mediante el número de intervalos que se tengan en un proceso (un intervalo ideal trapecio simple, dos intervalos igual Simpson 1/3, 3 intervalos igual Simpson 3/8, puede representar el número total de posibilidades de un evento, en  economía las ventas o ganancias obtenidas en el periodo de tiempo.

Algoritmo:

1.- inicio

2.- identificar los valores de ventas

3.- identificar los valores a y b

4.- identificar a que método corresponde y aplicar la formula correspondiente

5.- sacar resultados

6.- fin 

Interpolación numérica por el método de Simpson 1/3

Objetivo del tema: resolver la integral de una función con el método de Simpson 1/3

Definición: para integrar una función por el método de Simpson 1/3 se utiliza la división en intervalos de los límites a integrar, la ecuación matemática para el cálculo de integral definida con este método es:

Algoritmo:

1.- inicio

2.- con respecto a los valores que se indiquen identificas el valor de a el valor de b y el valor de xi donde xi es = a+b/2

3.- una vez teniendo los valores determinados sacar x y f(x) donde x vendría siendo el valor de a en el primer intervalo hasta llegar a a xn donde vendría siento b.

4.- sacar el valor de h indicado en la formula 

5.- sustituir la formula correspondiente

6.- sacar resultado

7.- fin