INTEGRACION NUMERICA POR EL METODO DE TRAPECIO COMPUESTO

El método de trapecio compuesto subdivide el intervalo de la integral para formar pequeños trapecios donde al calcular su área disminuye el grado de error en el cálculo del área como se puede observar en el siguiente esquema.

La ecuación matemática para el cálculo de la integral con el método de trapecio compuesto es

ALGORITMO:

• INICIO
• CON RESPECTO A LA FUNCIÓN DADA 
• SUSTITUIR LA PRIMERA FORMULA 
• TABULAR Y SACAR FUNCIÓN DE X DE LOS RESULTADOS ANTERIORES
• APLICAR LA SEGUNDA FORMULA 
• SACAR RESULTADO
• FIN

INTEGRACION NUMERICA POR EL METODO DE TRAPECIO

El método de trapecio para el cálculo del área bajo la curva utilizando la evaluación de la función en sus límites inferior y superior calculando el área del trapecio formado por la función.

nota: el método del trapecio es recomendable para funciones lineales de primer grado obteniendo un porcentaje de error alto en las funciones trigonométricas y trascendentales.

ALGORITMO:

• inicio
• sustituir la primera formula y aplicar para obtener el valor real
• sustituir la segunda formula para obtener el valor medido
• sacar porcentaje de error que existen en ambos
• fin

EJEMPLO:

RAICES MATEMATICAS METODO DE FALSA PROPORCION

Para calcular la raíz matemática de una función utilizando el método de falsa posición se utiliza la pendiente de 2 puntos establecidos Xi (Xi+1) considerando un punto fijo y un punto móvil el cual tiende aproximarse al valor de la raíz.

Matemáticamente se expresa con la siguiente ecuación:

Xr=Xi +1 -  f (xi+1)*(xi+1-xi)

                    F(xi+1)-f(xi)

ALGORITMO:

• inicio
• dependiendo la función sacar f(x)
• identificar el valor donde cambie el signo 
• aplicar la formula correspondiente
• sacar f(x) del resultado
• identificar los valores
• proseguir con el método hasta llegar al resultado que se indique
• fin

Ejemplo :

F(x)=2x³-4x-3

X	F(x)
-3	-45
-2	-11
-1	-1
0	-3
1	-5
2	5

Xr=2 -  5 (2-1) = 2-5/10=2-1/2=3/2

             5-(-5)

F =2  -  2 (3/2)³*-4(3/2)-3=-2.25

Xi=3/2   -2.25=F(xi)

Xi+1= 2     5  f(xi+1)

Xr=2 -  5 (2-3/2) = 48/29

             5-(-2.25)

F=2(48/29)-4(48/29)-3=-0.5516831358

Xi=48/29   -0.5516831358=F(xi)

Xi+1= 2                5  f(xi+1)

Xr=2 -         5 (2-48/29)           =       1.6894387

             5-(-0.5516831358)

F=2(1.6894387)-4(1.6894387)-3=-0.1137523792

Xi=1.6894387   -0.1137523792=F(xi)

Xi+1= 2                5  f(xi+1)

Xr=2 -         5 (2-1.6894387)           = 1.696346951      

                 5-(-0.1137523792)

F=2(1.696346951)-4(1.696346951)-3=-0.02259565453

Xi=1.696346951   -0.02259565453=F(xi)

Xi+1= 2                5  f(xi+1)

Xr=2 -         5 (2-1.696346951)           = 1.697713025     

                 5-(-0.02259565453)

F=2(1.697713025)-4(1.697713025)-3=-0.0044549218

Xi=1.697713025   -0.0044549218=F(xi)

Xi+1= 2                5  f(xi+1)

Xr=2 -         5 (2-1.697713025)           = 1.697982118     

                 5-(-0.0044549218)

Raíz: 1.697

RAICES MATEMATICAS METODO DE NEWTON

El método de newton calcula una raíz a partir del valor de la variable independiente sin importar el cambio de signo, principalmente se utiliza un valor menor a la raíz.

La ecuación matemática para el cálculo de una raíz utilizando el método de newton es: 

Xn+1=Xn –  f(n)

                   F´(n)

ALGORITMO:

• inicio
• sustituir la formula dependiendo la ecuacion proporcionada el grado de veces que sea necesario hasta llegar al resultado que se indica
• fin

Ejemplo:

Calcule la raíz matemática de la función:

F(x) =2sen x -4x+5

Apartir de n=1.5

Aproximado a millonésimas

F´(x) = 2cosx -4

X₀=1.5-(2.sen(1.5)-4(1.5)+5) = 1.5-(1.5)+5)=1.757867921

                    2cos(1.5)-4

X₁=1.757867921- (2.sen(1.757867921)-4(1.757867921)+5) =1.742688127

                                                2cos(1.757867921)-4

X₂=1.742688127- (2.sen(1.742688127)-4(1.742688127)+5) =1.742635936

                                                2cos(1.742688127)-4

X₃=1.742635936- (2.sen(1.742635936)-4(1.742635936)+5) =1.742635935

                                                2cos(1.742635936)-4

Raíz= 1.74263593

RAICES MATEMATICAS METODO DE BISECCION

Cuando se tienen funciones de grado mayor a 2 los métodos algebraicos se complican y es recomendable utilizar los métodos numéricos para su cálculo.
El método de bisección realiza una aproximación de la raíz dividiendo por la mitad al intervalo en donde exista un cambio de signo utilizando una tabla que permita identificar los valores de los intervalos en donde se encuentra la raíz.

Matemáticamente se calcula considerando los limites (a,b),donde debe existir un cambio de signo en (f(a).f(b)),  se calcula el valor intermedio (a+b/2) y su valor en la función y su valor en la función f(a+b/2) registrando los valores en la primer fila de una fabulación; la segunda fila debe elegir el punto medio del intervalo (a+b/2) y el limite a ó b que converse el cambio de signo continuando con esos pasos hasta:

•                     Obtener una aproximación en f(a+b)/2 con 0 determinando el número de decimales
•                                        Obtener el mismo valor en a y b con cierto número de decimales

             ALGORITMO:

•       inicio
•       dependiendo la función sacar los valores de f(x)
•       con respecto a los valores de f(x) identificar en que puntos cambia de signo e identificar los valores de a y b 
•       sustituir en la tabla respectivamente hasta llegar a los valores que se indiquen 
•      fin 

            Ejemplo:

Indique la raíz de la función f(x)=X³-X+1 con una aproximación en las raíces en centecimos

X	F(x)
-3	-23
-2	-5
-1	1
0	1
1	1
2	7
3	25

a	b	a+b/2	F(a)	F(b)	F(a+b/2)
-2	-1	-1.5	-1	1	-0.875
-1.5	-1.0	-1.25	-0.875	1	0.296875
-1.25	-1.5	-1.375	0.296875	-0.875	-0.224609375
-1.375	-1.25	-1.3125	-0.224609375	0.296875	0.05151367188
-1.31125	-1.375	-1.34375	0.31811367188	-0.224609375	-0.08261108398
-1.34375	-1.3125	-1.328125	-108261108396	0.05151367188	-0.01457595825
-1.328125	-1.3125	-1.3203125	-0.01459595825	0.0515136788	0.01871061325
-1.3203125	-1.328125		0.01871601325	-0.0145795825

RAIZ=-1.32

RAICES MATEMATICAS

Una raíz matemática se define como el valor de la variable independiente que permite igualar la ecuación con 0. Gráficamente se define como los cortes al eje de las absisas determinadas por la trayectoria de la ecuación, matemáticamente es el valor donde la función cambia de signo.

En una ecuación cuadrática se puede encontrar las raíces por los métodos:

•       MÉTODO GRÁFICO
•       FACTORIZACION 
•       FORMULA GENERAL

        ALGORITMO:

•       inicio
•       dependiendo del metodo que se aplique realizar la operacion para sacar la raiz
•       fin 

Ejemplo:

Indique la raíz matemática por el método de factorización de la sig. función

F(x)=X²-X-6

(X+2) (X-3)

X=-2   X=3

RAICES

X=-2

X=3

METODO DE HERMITE

Para encontrar el polinomio de interpolación  de n y su derivada se utiliza el método de Hermite que aplica el método de Newton colocando doble el valor de los nodos y sustituyendo el valor de la derivada donde se produzcan indeterminaciones


ALGORITMO:

• inicio
• dependiendo los valores que se te indiquen colocar las x y y repitiendo 1 vez el valor del numero que corresponta
• realizar operaciones aplicando el método de newton pero en este caso cuando el numero es = a 0 se sustituye por el valor de f´ 
• al terminar sustituir la formula 
• fin

Ejemplo

x	F(x)	F’(x)
1	2	1
3	3	2
4	5	3

1	2
		2-2=1 1-2
1	2		½-1=-1 3-1    4
		3-2=1 3-1  2		¾+1/4=1 3-1        2
3	3		2-1/2=3 3-1      4		-5/10-1/2=-13     5-1           64
		3-3=2 3-3		-1/2- ¾ =-5   5-1        16		17/64+13/64=15          5-1          128
3	3		1-2=-1 5-3    2		¾ + 5/16 =17    5-1          64
		5-3=1 5-3		1+1/2=3   5-3     4
5	5		3-1=1 5-3
		5-5=3 5-5
5	5

Pn(x) = 2+1(x-1)-1/4 (x-1)² + 1/2 (x-1)² (x-3)-13/64 (x-1)² (x-3)² + 15/128 (x-1)² (x-3)²(x-5)

P’(x)=1-1/2(x-1)+1/2(x-1)² + (x-3)(x-1) – 26/64 (x-1)² (x-3)-26/64 (x-3)² (x-5) + 30/128 (x-1)² (x-3)(x-5)+15/128 (x-1)² (x-3)

RAICES DE CHEBYCHEN

Para identificar los puntos que se debe evaluarse un polinomio se realiza una distribución homogénea de los intervalos encontrando la proporción para el cálculo de las abscisas con la sig. Ecuación.

XN=Cos (2n+1)pi

2n

Para calcular la posición de los nodos considerando el intervalo que se va a utilizar se aplica la siguiente expresión.

Xn | ^a    = 1[b-a] Xn + b + a

                                                                           ^b         2

ALGORITMO:

• inicio
• dependiendo el grado que se te indique es la cantidad de veces que sustituirás X con la formula 

XN=Cos (2n+1)pi

• 2n
•  sustituir la formula que sigue dependiendo el grado es las veces que se sustituira

Xn | ^a    = 1[b-a] Xn + b + a

                                                                           ^b         2

• sacar f(x) 
• graficar resultados
• fin

Ejemplo:

A partir de una función f(x) =x ln x ² indique la posición de los nodos y su valor en un intervalo de 1 a 4 considerando un polinomio de grado 4.

A= 1        b=4     n=4

X₀  = cos(2(0)+1)  pi    -   cos  pi=   0.95105652

                    2(5)                      10 

X₁ = cos(2(1)+1)  pi    -   cos  3pi=   0.58778525

                    2(5)                        10 

X₂ = cos(2(2)+1)  pi    -   cos  5pi=   0

                    2(5)                        10 

X₃ = cos(2(3)+1)  pi    -   cos  7pi=   -0.58778525

                    2(5)                        10 

X₄ = cos(2(4)+1)  pi    -   cos  9pi=   -0.95105652

                    2(5)                        10 

X₀ = 1 ([4-1] 0.95105652 + 4 + 1)=3.92658478

        2

X₁ = 1 ((3) 0.58775825+4+1)=0.58778525

        2

X₂ = 1 ((3) 0+4+1)=2.5

        2

X₃ =1 ((3)-0.58778525+4+1) =1.698322125

       2

X₄  =1((3) -0.95105652+4+1) =1.07341523

        2

x	y
1.07341523	0.152092975
1.698322125	1.55808781
2.5	4.581453659
0.58778525	8.240274392
3.92658478	10.74133001