Ecuaciones diferenciales

Objetivo: graficar la solución particular de una ecuación diferencial con método de Euler

Definición: una ecuación es aquella que al resolverse obtiene como resultado a una función, la ecuación particular depende de una condición inicial o el punto por donde se desea cruce la trayectoria en el plano.

El método de Euler aplica la siguiente ecuación para encontrar la solución particular de una ecuación diferencial .

Yn=yn-1+f(xn-1, yn-1)h

Algoritmo:

1.- inicio

2.- identificar i correspondiente a los puntos que se te indiquen

3.- sacar x aumentando h conforme va avancando la numeración de x

5.- sustituir formula para sacar y

6.-  sacar resultado

7.- graficar

8.- fin

Ejemplo:

Grafique la solución particular de la ecuación diferencial y’-5y²x=0

i	x	Y
0	2	1
1	2.1	2.0
2	2.2	6.2
3	2.3	48.484
4	2.4	2751.786994

Sistema de ecuaciones

Objetivo: aplicaciones de sistemas de ecuaciones de “nxn”

Definición: un modelo matemático representa situaciones cotidianas mediante ecuaciones e incognitas resolviendo dicho modelo se puede obtener un valor cualitativo como muestran los siguientes ejemplos.

Algoritmo:

1.- inicio

2.- aplicar el mismo procedimiento que en el tema anterior

3.- fin

Ejemplo:

Omar compra en la cafetería un refresco y una quesdilla con $25 pesos.

Al dia siguiente el lo invita a comer y compra 4 refrescos y 6 quesadillas pagando $130 pesos. ¿Cuál era el costo de cada producto?

X= precio de refrescos

Y = precio quesadillas

Metodo de gauss

Objetivo: resolver sistemas de ecuaciones con el método de Gauss.

Definición: el método de Gauss resuelve sistemas de ecuaciones de “n x n” convirtiendo una matriz formada por los coeficientes del sistema en matriz unitaria.

Una matriz unitaria se define como aquella matriz formada por unos y ceros donde los pivotes son la intersección de la fila y la columna del mismo valor.

Algoritmo de solución

Paso 1 se forma una matriz con los coefecientes del sistema de ecuaciones y se elige el primer pivote de la intersección de la fila 1 y la columna 1, en caso de no ser unitario se debe dividir a toda la fila o entre el valor del pivote

Paso2 se debe convertir los valores restantes de la columna en 0 utilizando para cada fila la siguiente ecuación (fila del pivote x en inverso negativo del número a eliminar + la fila de no. A eliminar)

Paso 3 se repiten los pasos anteriores cambiando el pivote por la intersección de la columna 2 y fila 2

Paso 4 los resultados se obtienen de la última columna de la matriz

 

Derivación numérica

La derivación con intervalos centrados realiza un incremento y decremento del valor inicial con respecto al tamaño (h) matemáticamente se calcularon las siguientes ecuaciones.

INTERVALOS CENTRADOS

F’(x0)= f(x0+1)-f(x0-1)

                       2n

F”(x0)= f(x0+1)-2f(x0)+f(xi+1)

                               H²

La derivada de una función con respecto al tiempo representa físicamente la velocidad de un móvil, la segunda derivada con respecto al tiempo representa la aceleración.

Algoritmo:

1.- inicio

2.- correspondiente a la ecuación y los valores designados sacar x0-1, x0, x0+1 que serán tus valores x

3.- sacar valor de f(x) sustituyendo x en la fórmula propuesta

4.- sustituir la ecuación en la fórmula que se indica

5.- sacar resultado

6.- fin

Ejemplo:

Resuelva las siguientes derivadas

  D²_  cos 4x   * e ^2x       x=3     n=0.1                   

Dx²            3x²

	X	F(x)
X0-1	2.9	7.439786548
X0	3.0	12.60870313
X0+1	3.1	16.85554323

F”(x)= 16.85554323-2(12.60870313)+7.439786548

                                                 0.01

F(x)=-92.2076482

Derivación numérica

Objetivo: resolver una derivada con aproximaciones numéricas

Definición: la derivada se define como el cálculo de la pendiente de una recta tangente en una trayectoria definida, para su cálculo se considera un incremento que tiende a 0 (incremento x=0), en métodos numéricos se aproxima su valor mediante la evaluación de 2 intervalos, el grado de posición depende de la tendencia a 0 de cada incremento.

Existen 3 métodos numéricos para calcular una derivada:

a)      Diferencias a la izquierda:

En este método el valor deseado se encuantra a la izquierda y se aplica la siguiente ecuación:

P³(x)=  -3f(xo) + 4f(x0+n)-f(x0+2n)

                              2n

Algoritmo:

1.- inicio

2.- identificar valores x0, x0+h y  x0+2h estos valores serán tus x

3.- sustituir cada x y sacar f(x)

4.- sustituir la formula

5.- sacar resultados

6.- fin

Ejemplo: calcule las siguientes derivadas

 D  3x² +2=         x=2             h=0.1

dx

x	F(x)
X0=        2	14
X0+h=  2.1	15.23
X0+2h=2.2	16.52

P³(x)=  -3(14) + 4(15.23)-16.52

                              0.2

=12u²

Integración numérica método de Simpson 3/8

Objetivo: resolver una integral con el método de Simpson 3/8

Definición:

El método de Simpson 3/8 realiza una aproximación del área bajo la curva mediante la división del intervalo en 3 partes iguales (h), la ecuación matemática para su calculo es:

Algoritmo:

1.-inicio

2.- identificar valores a, b, h

3.- sacar valores x y f(x) donde x0 es = a y xn=b

4.- sustituir la formmula

5.- sacar resultado

6.- fin

 

Integración numérica método de Simpson 1/3 compuesto

Objetivo: resolver una integral por el método de Simpson 1/3 compuesto

El método de Simpson 1/3 compuesto subdivide los intervalos en n partes iguales aproximado el área bajo la curva con la sumatoria de la función en sus subdivisiones utilizando la siguiente ecuación. 

Algoritmo:

1.-inicio

2.- identificar valores a, b, n

3.- con respecto a la formula xn= a+b-a/2n(xn) sacar valores x hasta llegar al valor b

4.- sacar f(x)

5.- sustituir la formula correspondiente

6.- sacar resultado

7.- fin

Integración numérica método de trapecio y Simpson 1/3.

Objetivo del tema: resolver problemas con el método de trapecio y Simpson 1/3.

Definición: El área bajo la curva analiza el total de información de un proceso analizado en un intervalo delimitado, el cálculo de área bajo la curva se puede resolver mediante el número de intervalos que se tengan en un proceso (un intervalo ideal trapecio simple, dos intervalos igual Simpson 1/3, 3 intervalos igual Simpson 3/8, puede representar el número total de posibilidades de un evento, en  economía las ventas o ganancias obtenidas en el periodo de tiempo.

Algoritmo:

1.- inicio

2.- identificar los valores de ventas

3.- identificar los valores a y b

4.- identificar a que método corresponde y aplicar la formula correspondiente

5.- sacar resultados

6.- fin 

Interpolación numérica por el método de Simpson 1/3

Objetivo del tema: resolver la integral de una función con el método de Simpson 1/3

Definición: para integrar una función por el método de Simpson 1/3 se utiliza la división en intervalos de los límites a integrar, la ecuación matemática para el cálculo de integral definida con este método es:

Algoritmo:

1.- inicio

2.- con respecto a los valores que se indiquen identificas el valor de a el valor de b y el valor de xi donde xi es = a+b/2

3.- una vez teniendo los valores determinados sacar x y f(x) donde x vendría siendo el valor de a en el primer intervalo hasta llegar a a xn donde vendría siento b.

4.- sacar el valor de h indicado en la formula 

5.- sustituir la formula correspondiente

6.- sacar resultado

7.- fin

INTEGRACION NUMERICA POR EL METODO DE TRAPECIO COMPUESTO

El método de trapecio compuesto subdivide el intervalo de la integral para formar pequeños trapecios donde al calcular su área disminuye el grado de error en el cálculo del área como se puede observar en el siguiente esquema.

La ecuación matemática para el cálculo de la integral con el método de trapecio compuesto es

ALGORITMO:

• INICIO
• CON RESPECTO A LA FUNCIÓN DADA 
• SUSTITUIR LA PRIMERA FORMULA 
• TABULAR Y SACAR FUNCIÓN DE X DE LOS RESULTADOS ANTERIORES
• APLICAR LA SEGUNDA FORMULA 
• SACAR RESULTADO
• FIN

INTEGRACION NUMERICA POR EL METODO DE TRAPECIO

El método de trapecio para el cálculo del área bajo la curva utilizando la evaluación de la función en sus límites inferior y superior calculando el área del trapecio formado por la función.

nota: el método del trapecio es recomendable para funciones lineales de primer grado obteniendo un porcentaje de error alto en las funciones trigonométricas y trascendentales.

ALGORITMO:

• inicio
• sustituir la primera formula y aplicar para obtener el valor real
• sustituir la segunda formula para obtener el valor medido
• sacar porcentaje de error que existen en ambos
• fin

EJEMPLO:

RAICES MATEMATICAS METODO DE FALSA PROPORCION

Para calcular la raíz matemática de una función utilizando el método de falsa posición se utiliza la pendiente de 2 puntos establecidos Xi (Xi+1) considerando un punto fijo y un punto móvil el cual tiende aproximarse al valor de la raíz.

Matemáticamente se expresa con la siguiente ecuación:

Xr=Xi +1 -  f (xi+1)*(xi+1-xi)

                    F(xi+1)-f(xi)

ALGORITMO:

• inicio
• dependiendo la función sacar f(x)
• identificar el valor donde cambie el signo 
• aplicar la formula correspondiente
• sacar f(x) del resultado
• identificar los valores
• proseguir con el método hasta llegar al resultado que se indique
• fin

Ejemplo :

F(x)=2x³-4x-3

X	F(x)
-3	-45
-2	-11
-1	-1
0	-3
1	-5
2	5

Xr=2 -  5 (2-1) = 2-5/10=2-1/2=3/2

             5-(-5)

F =2  -  2 (3/2)³*-4(3/2)-3=-2.25

Xi=3/2   -2.25=F(xi)

Xi+1= 2     5  f(xi+1)

Xr=2 -  5 (2-3/2) = 48/29

             5-(-2.25)

F=2(48/29)-4(48/29)-3=-0.5516831358

Xi=48/29   -0.5516831358=F(xi)

Xi+1= 2                5  f(xi+1)

Xr=2 -         5 (2-48/29)           =       1.6894387

             5-(-0.5516831358)

F=2(1.6894387)-4(1.6894387)-3=-0.1137523792

Xi=1.6894387   -0.1137523792=F(xi)

Xi+1= 2                5  f(xi+1)

Xr=2 -         5 (2-1.6894387)           = 1.696346951      

                 5-(-0.1137523792)

F=2(1.696346951)-4(1.696346951)-3=-0.02259565453

Xi=1.696346951   -0.02259565453=F(xi)

Xi+1= 2                5  f(xi+1)

Xr=2 -         5 (2-1.696346951)           = 1.697713025     

                 5-(-0.02259565453)

F=2(1.697713025)-4(1.697713025)-3=-0.0044549218

Xi=1.697713025   -0.0044549218=F(xi)

Xi+1= 2                5  f(xi+1)

Xr=2 -         5 (2-1.697713025)           = 1.697982118     

                 5-(-0.0044549218)

Raíz: 1.697

RAICES MATEMATICAS METODO DE NEWTON

El método de newton calcula una raíz a partir del valor de la variable independiente sin importar el cambio de signo, principalmente se utiliza un valor menor a la raíz.

La ecuación matemática para el cálculo de una raíz utilizando el método de newton es: 

Xn+1=Xn –  f(n)

                   F´(n)

ALGORITMO:

• inicio
• sustituir la formula dependiendo la ecuacion proporcionada el grado de veces que sea necesario hasta llegar al resultado que se indica
• fin

Ejemplo:

Calcule la raíz matemática de la función:

F(x) =2sen x -4x+5

Apartir de n=1.5

Aproximado a millonésimas

F´(x) = 2cosx -4

X₀=1.5-(2.sen(1.5)-4(1.5)+5) = 1.5-(1.5)+5)=1.757867921

                    2cos(1.5)-4

X₁=1.757867921- (2.sen(1.757867921)-4(1.757867921)+5) =1.742688127

                                                2cos(1.757867921)-4

X₂=1.742688127- (2.sen(1.742688127)-4(1.742688127)+5) =1.742635936

                                                2cos(1.742688127)-4

X₃=1.742635936- (2.sen(1.742635936)-4(1.742635936)+5) =1.742635935

                                                2cos(1.742635936)-4

Raíz= 1.74263593

RAICES MATEMATICAS METODO DE BISECCION

Cuando se tienen funciones de grado mayor a 2 los métodos algebraicos se complican y es recomendable utilizar los métodos numéricos para su cálculo.
El método de bisección realiza una aproximación de la raíz dividiendo por la mitad al intervalo en donde exista un cambio de signo utilizando una tabla que permita identificar los valores de los intervalos en donde se encuentra la raíz.

Matemáticamente se calcula considerando los limites (a,b),donde debe existir un cambio de signo en (f(a).f(b)),  se calcula el valor intermedio (a+b/2) y su valor en la función y su valor en la función f(a+b/2) registrando los valores en la primer fila de una fabulación; la segunda fila debe elegir el punto medio del intervalo (a+b/2) y el limite a ó b que converse el cambio de signo continuando con esos pasos hasta:

•                     Obtener una aproximación en f(a+b)/2 con 0 determinando el número de decimales
•                                        Obtener el mismo valor en a y b con cierto número de decimales

             ALGORITMO:

•       inicio
•       dependiendo la función sacar los valores de f(x)
•       con respecto a los valores de f(x) identificar en que puntos cambia de signo e identificar los valores de a y b 
•       sustituir en la tabla respectivamente hasta llegar a los valores que se indiquen 
•      fin 

            Ejemplo:

Indique la raíz de la función f(x)=X³-X+1 con una aproximación en las raíces en centecimos

X	F(x)
-3	-23
-2	-5
-1	1
0	1
1	1
2	7
3	25

a	b	a+b/2	F(a)	F(b)	F(a+b/2)
-2	-1	-1.5	-1	1	-0.875
-1.5	-1.0	-1.25	-0.875	1	0.296875
-1.25	-1.5	-1.375	0.296875	-0.875	-0.224609375
-1.375	-1.25	-1.3125	-0.224609375	0.296875	0.05151367188
-1.31125	-1.375	-1.34375	0.31811367188	-0.224609375	-0.08261108398
-1.34375	-1.3125	-1.328125	-108261108396	0.05151367188	-0.01457595825
-1.328125	-1.3125	-1.3203125	-0.01459595825	0.0515136788	0.01871061325
-1.3203125	-1.328125		0.01871601325	-0.0145795825

RAIZ=-1.32